«Nada más descorazonador podría acontecerle a un autor científico que ver resquebrajarse uno de los pilares de su edificio tras haber dado la tarea por concluida.
Ésta es la situación en que me ha colocado una carta del Sr. Bertrand Russell, recibida cuando la impresión de este volumen tocaba ya a su fin. Se trata de una cuestión relativa a mi Axioma (V). Por lo que a mí respecta, nunca me he ocultado a mí mismo que está lejos de resultar tan evidente como los demás axiomas y como, en rigor, cabría exigir a una ley lógica. Y es así como he cuidado de llamar la atención sobre este punto débil en el Prefacio al volumen I (pág, VII). En realidad, habría prescindido gustosamente de ese pilar si supiese de un modo de sustituirlo por algún otro. Pero lo cierto es que todavía ahora no sé cómo podría la aritmética ser científicamente fundamentada, cómo podrían los números ser aprehendidos como objetos lógicos sometidos a nuestra consideración, a menos que se nos permita —siquiera sea a título condicional— pasar de un concepto a su extensión. ¿Nos será invariablemente dado hablar de la extensión de un concepto a, esto es, de una clase? Y, de no ser así, ¿cómo sabremos cuándo nos hallamos ante un caso excepcional? ¿Cabrá siempre inferir del hecho de que un concepto coincida en extensión con otro concepto que cualquier objeto incluido bajo el primero se ha de incluir también en el segundo? Éstas son las preguntas que plantea la comunicación del Sr. Russell.
Solatium miseris, socios habuisse dolorum (1).También a mi queda ese consuelo, si así puede llamársele; pues quienquiera que haya hecho uso en sus demostraciones de extensiones de conceptos, clases o conjuntos se hallará en la misma situación que yo. Lo que aquí está en cuestión no es precisamente mi modo particular de fundamentar la aritmética, sino la misma posibilidad que esta última tenga algún fundamento lógico.
Pero vayamos ya con la dificultad. El Sr. Russell ha descubierto una contradicción que podría formularse en los términos que siguen.
A nadie se le ocurriría afirmar de la clase de los hombres que dicha clase sea un hombre. Tenemos aquí, pues, una clase que no se pertenece a sí misma. En líneas generales, digo que algo pertenece a una clase cuando se incluye bajo el concepto cuya extensión es esa clase, Fijémonos ahora en el concepto: clase que no se pertenece a sí misma. La extensión de este concepto (si cabe hablar de su extensión) será, según lo dicho, la clase de las clases que no se pertenecen a sí mismas. Llamémosla, para abreviar, la clase K. Y preguntémonos ahora si la clase K se pertenece a sí misma. Supongamos, en primer lugar, que lo hace así. Si algo pertenece a una clase, ha de hallarse incluido bajo el concepto cuya extensión es esa clase. De modo que, si nuestra clase se pertenece a sí misma, se tratará de una clase que no se pertenece a sí misma. Nuestra primera suposición conduce, pues, a una contradicción. Supongamos a continuación, en segundo lugar, que nuestra clase K no se pertenece a sí misma; en ese caso, se hallará incluida bajo el concepto cuya extensión es ella misma y, por lo tanto, se tratará de una clase que se pertenece a sí misma. De nuevo aquí nos vemos abocados a una contradicción».
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(1) El consuelo para la desgracia es haber tenido compañeros de las penas.
(G. FREGE, Leyes fundamentales de la aritmética, «Post scriptum»; citado en W. y M. KNEALE, El desarrollo de la lógica, cap. XI. Trad. J. Muguerza. Tecnos, Madrid, 1980, pp. 606-607).
