La paradoja del mentiroso

«Existe la antigua paradoja de Epiménides, el cretense, quien afirmó que todos los cretenses eran mentirosos. Si decía verdad, él era un mentiroso. Parece que esta paradoja alcanzó la atención de san Pablo y que a éste se le escapó su alcance. En su Epístola a Tito, le avisaba: “Uno de ellos mismos, un profeta surgido de entre ellos, dijo: ‘Los cretenses son siempre mentirosos’”.

En realidad la paradoja de Epiménides no está bien contada. Hay algunos escapes. Tal vez algunos cretenses eran mentirosos, en particular Epiménides, y otros no lo eran. Tal vez Epiménides era un mentiroso que ocasionalmente decía la verdad. En cualquier caso de los dos, la contradicción desaparece. Se puede salvar algo de esta paradoja con una pequeña reparación, pero haremos mejor si nos pasamos a una formulación diferente y más simple, también antigua de la misma idea. Ésta es la paradoja del pseudomenon, quien afirma simplemente: “yo estoy mintiendo”. Incluso podemos dejar a un lado lo indirecto de una referencia personal y afirmar directamente de la sentencia: “esta sentencia es falsa”. Aquí parecemos alcanzar la esencia irreductible de la antinomia: una sentencia que es verdadera si y sólo si es falsa».

(W. V. O. QUINE, «Paradoja», en M. KLINE, Matemáticas en el mundo moderno, Selecciones de «Scientific American». Trad. Miguel de Guzmán. Hermann Blume, Madrid-Barcelona, 1974, p. 227).

La paradoja del barbero que afeita a todos y sólo a aquellos hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos

«En un cierto pueblo hay un hombre, así dice la paradoja, que es un barbero. Este barbero afeita a todos y sólo a aquellos hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos. Pregunta: ¿se afeita el barbero a sí mismo?

Todo hombre de este pueblo es afeitado por el barbero si y sólo si no es afeitado por sí mismo. Por lo tanto, en particular, el barbero se afeita a sí mismo si y sólo si no se afeita a sí mismo. Nos encontramos con una dificultad si decimos que el barbero se afeita a sí mismo y nos encontramos con otra dificultad si afirmamos que no lo hace. [...]

La conclusión es demasiado absurda para darla por buena en ningún instante.

¿Qué hemos de decir con respecto al razonamiento que tiene lugar en la demostración de esta conclusión inaceptable? Afortunadamente este razonamiento descansa sobre ciertas hipótesis. Se nos pide que nos traguemos una historia acerca de un pueblo y de un hombre que afeita a todos y solamente a aquellos hombres en el pueblo que no se afeitan a sí mismos. Ésta es la fuente de nuestra dificultad. Si aceptamos esto, acabaremos afirmando, absurdamente, que el barbero se afeita a sí mismo si y sólo si no se afeita a sí mismo. La conclusión adecuada que es preciso inferir consiste precisamente en que no existe tal barbero. Nos encontramos confrontados nada menos con lo más misterioso que los lógicos han llamado durante un par de miles de años reducción al absurdo. Demostramos la inexistencia del barbero suponiendo que existe y deduciendo el absurdo de que se afeita a sí mismo si y sólo si se afeita a sí mismo. La paradoja es simplemente la demostración de que ningún pueblo puede contener tal hombre que afeita a todos y solamente a aquellos que no se afeitan a sí mismos».

(W. V. O. QUINE, «Paradoja», en M. KLINE, Matemáticas en el mundo moderno. Selecciones de «Scientific American». Trad. Miguel de Guzmán. Hermann Blume, Madrid-Barcelona, 1974, pp. 224-233).

La paradoja de Russell anula la fundamentación de la aritmética propuesta por Frege

«Nada más descorazonador podría acontecerle a un autor científico que ver resquebrajarse uno de los pilares de su edificio tras haber dado la tarea por concluida.

Ésta es la situación en que me ha colocado una carta del Sr. Bertrand Russell, recibida cuando la impresión de este volumen tocaba ya a su fin. Se trata de una cuestión relativa a mi Axioma (V). Por lo que a mí respecta, nunca me he ocultado a mí mismo que está lejos de resultar tan evidente como los demás axiomas y como, en rigor, cabría exigir a una ley lógica. Y es así como he cuidado de llamar la atención sobre este punto débil en el Prefacio al volumen I (pág, VII). En realidad, habría prescindido gustosamente de ese pilar si supiese de un modo de sustituirlo por algún otro. Pero lo cierto es que todavía ahora no sé cómo podría la aritmética ser científicamente fundamentada, cómo podrían los números ser aprehendidos como objetos lógicos sometidos a nuestra consideración, a menos que se nos permita —siquiera sea a título condicional— pasar de un concepto a su extensión. ¿Nos será invariablemente dado hablar de la extensión de un concepto a, esto es, de una clase? Y, de no ser así, ¿cómo sabremos cuándo nos hallamos ante un caso excepcional? ¿Cabrá siempre inferir del hecho de que un concepto coincida en extensión con otro concepto que cualquier objeto incluido bajo el primero se ha de incluir también en el segundo? Éstas son las preguntas que plantea la comunicación del Sr. Russell.

Solatium miseris, socios habuisse dolorum (1).También a mi queda ese consuelo, si así puede llamársele; pues quienquiera que haya hecho uso en sus demostraciones de extensiones de conceptos, clases o conjuntos se hallará en la misma situación que yo. Lo que aquí está en cuestión no es precisamente mi modo particular de fundamentar la aritmética, sino la misma posibilidad que esta última tenga algún fundamento lógico.

Pero vayamos ya con la dificultad. El Sr. Russell ha descubierto una contradicción que podría formularse en los términos que siguen.

A nadie se le ocurriría afirmar de la clase de los hombres que dicha clase sea un hombre. Tenemos aquí, pues, una clase que no se pertenece a sí misma. En líneas generales, digo que algo pertenece a una clase cuando se incluye bajo el concepto cuya extensión es esa clase, Fijémonos ahora en el concepto: clase que no se pertenece a sí misma. La extensión de este concepto (si cabe hablar de su extensión) será, según lo dicho, la clase de las clases que no se pertenecen a sí mismas. Llamémosla, para abreviar, la clase K. Y preguntémonos ahora si la clase K se pertenece a sí misma. Supongamos, en primer lugar, que lo hace así. Si algo pertenece a una clase, ha de hallarse incluido bajo el concepto cuya extensión es esa clase. De modo que, si nuestra clase se pertenece a sí misma, se tratará de una clase que no se pertenece a sí misma. Nuestra primera suposición conduce, pues, a una contradicción. Supongamos a continuación, en segundo lugar, que nuestra clase K no se pertenece a sí misma; en ese caso, se hallará incluida bajo el concepto cuya extensión es ella misma y, por lo tanto, se tratará de una clase que se pertenece a sí misma. De nuevo aquí nos vemos abocados a una contradicción».
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(1) El consuelo para la desgracia es haber tenido compañeros de las penas.

(G. FREGE, Leyes fundamentales de la aritmética, «Post scriptum»; citado en W. y M. KNEALE, El desarrollo de la lógica, cap. XI. Trad. J. Muguerza. Tecnos, Madrid, 1980, pp. 606-607).

La paradoja del puente y la horca

«Señor, un caudaloso río dividía dos términos de un mismo señorío... Y esté vuesa merced atento, porque el caso es de importancia y algo dificultoso. Digo, pues, que sobre este río estaba una puente, y al cabo della, una horca y una como casa de audiencia, en la cual de ordinario había cuatro jueces que juzgaban la ley que puso el dueño del río, de la puente y del señorío, que era en esta forma: “Si alguno pasare por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar; y si dijere mentira, muera, por ello ahorcado en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna.” Sabida esta ley y la rigurosa condición della, pasaban muchos, y luego en lo que juraban se echaba de ver que decían verdad, y los jueces los dejaban pasar libremente. Sucedió, pues, que tomando juramento a un hombre, juró y dijo que para el juramento que hacía, que iba a morir en aquella horca que allí estaba, y no a otra cosa. Repararon los jueces en el juramento, y dijeron: “Si a este hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su juramento, y, conforme a la ley debe morir; y si le ahorcamos, él juró que iba a morir en aquella horca, y, habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre”. Pídase a vuesa merced, señor gobernador, qué harán los jueces del tal hombre; que aún hasta agora están dudosos y suspensos. Y habiendo tenido noticia del agudo y elevado entendimiento de vuesa merced, me enviaron a mí a que suplicase a vuesa merced de su parte diese su parecer en tan intricado y dudoso caso.

A lo que respondió Sancho:

—Por cierto que esos señores jueces que a mí os envían lo pudieran haber excusado, porque yo soy un hombre que tengo más de mostrenco que de agudo; pero, con todo eso, repetidme otra vez el negocio de modo que yo le entienda: quizá podría ser que diese en el hito.

Volvió otra y otra vez el preguntante a referir lo que primero había dicho, y Sancho dijo:

—A mi parecer, este negocio en dos paletas le declararé yo, y es así: el tal hombre jura que va a morir en la horca; y si muere en ella, juró verdad, y por la ley puesta merece ser libre y que pase la puente; y si no le ahorcan, juró mentira, y por la misma ley merece que le ahorquen.
—Así es como el señor gobernador dice —dijo el mensajero—; y cuanto a la entereza y entendimiento del caso, no hay más que pedir ni que dudar.
—Digo yo, pues, agora —replicó Sancho— que deste hombre aquella parte que juró verdad la dejen pasar, y la que dijo mentira la ahorquen, y desta manera se cumplirá al pie de la letra la condición del pasaje.
—Pues, señor gobernador —replicó el preguntador—, será necesario que el tal hombre se divida en partes, en mentirosa y verdadera; y si se divide, por fuerza ha de morir, y así no se consigue cosa alguna de lo que la ley pide, y es de necesidad expresa que se cumpla con ella.
—Venid acá, señor buen hombre —respondió Sancho—: este pasajero que decís, o yo soy un porro, o él tiene la misma razón para morir que para vivir y pasar la puente; porque si la verdad le salva, la mentira le condena igualmente; y siendo esto así, como lo es, soy de parecer que digáis a esos señores que a mí os enviaron que, pues están en un fil las razones de condenarle o asolverle, que le dejen pasar libremente, pues siempre es alabado más el hacer bien que mal; y esto lo diera firmado de mi nombre si supiera firmar, y yo en este caso no he hablado de mío, sino que se me vino a la memoria un precepto, entre otros muchos que me dio mi amo don Quijote la noche antes que viniese a ser gobernador desta ínsula: que fue que cuando la justicia estuviese en duda, me decantase y acogiese a la misericordia; y ha querido Dios que agora se me acordase, por venir en este caso como de molde.

Así es —respondió el mayordomo—, y tengo para mí que el mismo Licurgo, que dio leyes a los lacedemonios, no pudiera dar mejor sentencia que la que el gran Panza ha dado. Y acábese con esto la audiencia desta mañana, y yo daré orden como el señor gobernador coma muy a su gusto».

(MIGUEL DE CERVANTES, Don Quijote de la Mancha, II, LI).