La paradoja del mentiroso

«Existe la antigua paradoja de Epiménides, el cretense, quien afirmó que todos los cretenses eran mentirosos. Si decía verdad, él era un mentiroso. Parece que esta paradoja alcanzó la atención de san Pablo y que a éste se le escapó su alcance. En su Epístola a Tito, le avisaba: “Uno de ellos mismos, un profeta surgido de entre ellos, dijo: ‘Los cretenses son siempre mentirosos’”.

En realidad la paradoja de Epiménides no está bien contada. Hay algunos escapes. Tal vez algunos cretenses eran mentirosos, en particular Epiménides, y otros no lo eran. Tal vez Epiménides era un mentiroso que ocasionalmente decía la verdad. En cualquier caso de los dos, la contradicción desaparece. Se puede salvar algo de esta paradoja con una pequeña reparación, pero haremos mejor si nos pasamos a una formulación diferente y más simple, también antigua de la misma idea. Ésta es la paradoja del pseudomenon, quien afirma simplemente: “yo estoy mintiendo”. Incluso podemos dejar a un lado lo indirecto de una referencia personal y afirmar directamente de la sentencia: “esta sentencia es falsa”. Aquí parecemos alcanzar la esencia irreductible de la antinomia: una sentencia que es verdadera si y sólo si es falsa».

(W. V. O. QUINE, «Paradoja», en M. KLINE, Matemáticas en el mundo moderno, Selecciones de «Scientific American». Trad. Miguel de Guzmán. Hermann Blume, Madrid-Barcelona, 1974, p. 227).

La paradoja del barbero que afeita a todos y sólo a aquellos hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos

«En un cierto pueblo hay un hombre, así dice la paradoja, que es un barbero. Este barbero afeita a todos y sólo a aquellos hombres del pueblo que no se afeitan a sí mismos. Pregunta: ¿se afeita el barbero a sí mismo?

Todo hombre de este pueblo es afeitado por el barbero si y sólo si no es afeitado por sí mismo. Por lo tanto, en particular, el barbero se afeita a sí mismo si y sólo si no se afeita a sí mismo. Nos encontramos con una dificultad si decimos que el barbero se afeita a sí mismo y nos encontramos con otra dificultad si afirmamos que no lo hace. [...]

La conclusión es demasiado absurda para darla por buena en ningún instante.

¿Qué hemos de decir con respecto al razonamiento que tiene lugar en la demostración de esta conclusión inaceptable? Afortunadamente este razonamiento descansa sobre ciertas hipótesis. Se nos pide que nos traguemos una historia acerca de un pueblo y de un hombre que afeita a todos y solamente a aquellos hombres en el pueblo que no se afeitan a sí mismos. Ésta es la fuente de nuestra dificultad. Si aceptamos esto, acabaremos afirmando, absurdamente, que el barbero se afeita a sí mismo si y sólo si no se afeita a sí mismo. La conclusión adecuada que es preciso inferir consiste precisamente en que no existe tal barbero. Nos encontramos confrontados nada menos con lo más misterioso que los lógicos han llamado durante un par de miles de años reducción al absurdo. Demostramos la inexistencia del barbero suponiendo que existe y deduciendo el absurdo de que se afeita a sí mismo si y sólo si se afeita a sí mismo. La paradoja es simplemente la demostración de que ningún pueblo puede contener tal hombre que afeita a todos y solamente a aquellos que no se afeitan a sí mismos».

(W. V. O. QUINE, «Paradoja», en M. KLINE, Matemáticas en el mundo moderno. Selecciones de «Scientific American». Trad. Miguel de Guzmán. Hermann Blume, Madrid-Barcelona, 1974, pp. 224-233).