La diferencia entre sentido y referencia: la referencia es el objeto designado por un signo, mientras que el sentido es el modo de designarlo

«Si el signo “a” sólo se diferencia del signo “b” como objeto (en este caso por su forma), y no como objeto (es decir, no por el modo como designa algo), entonces el valor cognoscitivo de a=a sería esencialmente el mismo que el de a=b, caso de que a=b fuera verdadero. Una distinción puede darse únicamente en el caso de que la diferencia de signos corresponda a una diferencia en el modo de darse lo designado. Sean a, b, c,las rectas que unen los ángulos de un triángulo con el punto medio de los lados opuestos, El punto de intersección de a y b es entonces el mismo que el punto de intersección de b y c. Tenemos, pues, designaciones distintas para el mismo punto, y estos nombres (“intersección de a y b”, “intersección de b y c”) indican al mismo tiempo el modo de darse el punto, y de ahí que en el enunciado esté contenido auténtico conocimiento.

Es natural considerar entonces que a un signo (nombre, unión de palabras, signo escrito), además de lo designado, que podría llamarse la referencia del signo, va unido lo que yo quisiera denominar el sentido del signo, en el cual se haya contenido el modo de darse. Según esto, en nuestro ejemplo, la referencia de las expresiones “el punto de intersección de a y b” y “el punto de intersección de b y c” sería ciertamente la misma, pero no sería el mismo su sentido. La referencia de “lucero matutino” y de “lucero vespertino” sería la misma, pero el sentido no sería el mismo».

(G. FREGE, «Sobre sentido y referencia». En Estudios sobre semántica. Trad. U. Molines. Ariel, Barcelona, 1984, pp. 52-53).

La diferencia entre sentido, referencia y representación mental en el caso de los nombres propios

«La referencia de un nombre propio es el objeto mismo que designamos con él; la representación que tenemos entonces es totalmente subjetiva; entre ambas se halla el sentido, que ciertamente ya no es subjetivo como la representación, pero, con todo, tampoco es el objeto mismo. Quizá sea adecuada la siguiente analogía, para ilustrar estas relaciones. Alguien observa la Luna a través de un telescopio. Comparo la Luna con la referencia; es el objeto de observación, que es proporcionado por la imagen real que queda dibujada sobre el cristal del objetivo del interior del telescopio, y por la imagen en la retina del observador. La primera imagen la comparo con el sentido; la segunda, con la representación o intuición. La imagen formada dentro del telescopio es, en verdad, sólo parcial; depende del lugar de observación; pero con todo es objetiva, en la medida en que puede servir a varios observadores. Podría incluso disponerse de modo que pudieran utilizarla varios simultáneamente. Pero, de las imágenes retinianas cada uno tendría la suya propia. Apenas podría lograrse una congruencia geométrica, debido a la diferente constitución de los ojos, y una coincidencia real estaría excluida».

(G. FREGE, «Sobre sentido y referencia». En Estudios sobre semántica. Trad. U. Molines. Ariel, Barcelona, 1984, pp. 57- 58).

La diferencia entre sentido, referencia y representación mental

«De la referencia y del sentido de un signo hay que distinguir la representación a él asociada. Si la referencia de un signo es un objeto sensiblemente perceptible, la representación que yo tengo de él es entonces una imagen interna formada a partir de recuerdos de impresiones sensibles que he tenido, y de actividades que he practicado, tanto internas como externas. Esa imagen está frecuentemente impregnada de sentimientos; la claridad de cada una de sus partes es diversa y vacilante. No siempre, ni siquiera en la misma persona, está unida la misma representación al mismo sentido. La representación es subjetiva: la representación de uno no es la del otro. Por ello se dan múltiples diferencias en las representaciones asociadas al mismo sentido. Un pintor, un jinete y un zoólogo asociarán probablemente representaciones muy distintas al nombre “Bucéfalo”. Por eso se diferencia la representación esencialmente del sentido de un signo, el cual puede ser propiedad común de muchos y que, por tanto, no es parte o modo de la mente individual; pues ciertamente no se podrá negar que la Humanidad tiene un tesoro de pensamientos, que transmite de una generación a otra».

(G. FREGE, «Sobre sentido y referencia». En Estudios sobre semántica. Trad. U. Molines. Ariel, Barcelona, 1984, p. 56, sin notas).

La paradoja de Russell anula la fundamentación de la aritmética propuesta por Frege

«Nada más descorazonador podría acontecerle a un autor científico que ver resquebrajarse uno de los pilares de su edificio tras haber dado la tarea por concluida.

Ésta es la situación en que me ha colocado una carta del Sr. Bertrand Russell, recibida cuando la impresión de este volumen tocaba ya a su fin. Se trata de una cuestión relativa a mi Axioma (V). Por lo que a mí respecta, nunca me he ocultado a mí mismo que está lejos de resultar tan evidente como los demás axiomas y como, en rigor, cabría exigir a una ley lógica. Y es así como he cuidado de llamar la atención sobre este punto débil en el Prefacio al volumen I (pág, VII). En realidad, habría prescindido gustosamente de ese pilar si supiese de un modo de sustituirlo por algún otro. Pero lo cierto es que todavía ahora no sé cómo podría la aritmética ser científicamente fundamentada, cómo podrían los números ser aprehendidos como objetos lógicos sometidos a nuestra consideración, a menos que se nos permita —siquiera sea a título condicional— pasar de un concepto a su extensión. ¿Nos será invariablemente dado hablar de la extensión de un concepto a, esto es, de una clase? Y, de no ser así, ¿cómo sabremos cuándo nos hallamos ante un caso excepcional? ¿Cabrá siempre inferir del hecho de que un concepto coincida en extensión con otro concepto que cualquier objeto incluido bajo el primero se ha de incluir también en el segundo? Éstas son las preguntas que plantea la comunicación del Sr. Russell.

Solatium miseris, socios habuisse dolorum (1).También a mi queda ese consuelo, si así puede llamársele; pues quienquiera que haya hecho uso en sus demostraciones de extensiones de conceptos, clases o conjuntos se hallará en la misma situación que yo. Lo que aquí está en cuestión no es precisamente mi modo particular de fundamentar la aritmética, sino la misma posibilidad que esta última tenga algún fundamento lógico.

Pero vayamos ya con la dificultad. El Sr. Russell ha descubierto una contradicción que podría formularse en los términos que siguen.

A nadie se le ocurriría afirmar de la clase de los hombres que dicha clase sea un hombre. Tenemos aquí, pues, una clase que no se pertenece a sí misma. En líneas generales, digo que algo pertenece a una clase cuando se incluye bajo el concepto cuya extensión es esa clase, Fijémonos ahora en el concepto: clase que no se pertenece a sí misma. La extensión de este concepto (si cabe hablar de su extensión) será, según lo dicho, la clase de las clases que no se pertenecen a sí mismas. Llamémosla, para abreviar, la clase K. Y preguntémonos ahora si la clase K se pertenece a sí misma. Supongamos, en primer lugar, que lo hace así. Si algo pertenece a una clase, ha de hallarse incluido bajo el concepto cuya extensión es esa clase. De modo que, si nuestra clase se pertenece a sí misma, se tratará de una clase que no se pertenece a sí misma. Nuestra primera suposición conduce, pues, a una contradicción. Supongamos a continuación, en segundo lugar, que nuestra clase K no se pertenece a sí misma; en ese caso, se hallará incluida bajo el concepto cuya extensión es ella misma y, por lo tanto, se tratará de una clase que se pertenece a sí misma. De nuevo aquí nos vemos abocados a una contradicción».
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(1) El consuelo para la desgracia es haber tenido compañeros de las penas.

(G. FREGE, Leyes fundamentales de la aritmética, «Post scriptum»; citado en W. y M. KNEALE, El desarrollo de la lógica, cap. XI. Trad. J. Muguerza. Tecnos, Madrid, 1980, pp. 606-607).